Упр.46.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Из прямоугольной трапеции с основанием а и b и высотой h вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если: a) а = 80, b = 60, h = 100; б) а = 24, b = 8, h = 12?

Подробный ответ

Пусть одна из боковых сторон прямоугольника имеет длину $$x$$. Тогда его верхняя вершина лежит на верхней стороне трапеции, а нижняя — на нижней. Длина прямоугольника равна разности ординат соответствующих точек на границах трапеции, поэтому площадь прямоугольника выражается через $$x$$.

а) Для трапеции с основаниями $$a=80$$, $$b=60$$ и высотой $$h=100$$ получаем линейную зависимость ширины трапеции от высоты. Тогда площадь прямоугольника можно записать как

$$S(x)=x\left(80-\frac{80-60}{100}x\right)=80x-\frac{1}{5}x^2.$$

Найдём максимум этой функции:

$$S'(x)=80-\frac{2}{5}x.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$80-\frac{2}{5}x=0,\qquad x=200.$$

Но высота трапеции равна $$100$$, значит максимум достигается на границе допустимой области. Так как функция $$S(x)$$ возрастает на $$[0;100]$$, то

$$S_{\max}=S(100)=80\cdot 100-\frac{1}{5}\cdot 100^2=8000-2000=6000.$$

б) Для трапеции с основаниями $$a=24$$, $$b=8$$ и высотой $$h=12$$ аналогично:

$$S(x)=x\left(24-\frac{24-8}{12}x\right)=24x-\frac{4}{3}x^2.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=24-\frac{8}{3}x.$$

Приравниваем к нулю: