Упр.46.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Обозначим второе основание трапеции через $$x$$. Тогда площадь трапеции при фиксированных боковых сторонах и одном основании выражается через высоту, а наибольшее значение площади достигается при симметричном расположении трапеции, то есть когда она является равнобедренной.

Пусть боковые стороны и одно основание равны $$15$$ см. Тогда половина разности оснований равна проекции боковой стороны на основание. Обозначим эту проекцию через $$t$$. Имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой $$15$$ и катетами $$h$$ и $$t$$, где $$h$$ — высота трапеции:

$$h^2+t^2=15^2.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{15+x}{2}\,h.$$

Так как $$x=15+2t$$, то

$$S=(15+t)h.$$

Подставим $$h=\sqrt{225-t^2}$$:

$$S(t)=(15+t)\sqrt{225-t^2}, \qquad 0\le t\le 15.$$

Найдём максимум функции. Рассмотрим квадрат площади:

$$S^2=(15+t)^2(225-t^2).$$

Удобнее заметить, что при фиксированной боковой стороне максимум достигается при $$t=0$$, то есть когда высота максимальна, а разность оснований равна нулю. Тогда второе основание равно первому:

$$x=15\text{ см}.$$

Следовательно, наибольшая площадь будет у трапеции с равными основаниями.

Ответ

$$15\text{ см}$$