Упр.46.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) На графике функции у = х2 найдите точку М, ближайшую к точке А(0; 1,5). б) На графике функции у = корень х найдите точку М, ближайшую к точке А(4,5; 0).

Подробный ответ

а) Пусть точка на графике $$y=x^2$$ имеет координаты $$M(x;x^2)$$. Тогда квадрат расстояния от точки $$A(0;1{,}5)$$ до точки $$M$$ равен

$$AM^2=x^2+(x^2-1{,}5)^2.$$

Обозначим

$$f(x)=x^2+(x^2-1{,}5)^2=x^4-2x^2+2{,}25.$$

Найдём минимум функции:

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1).$$

Критические точки: $$x=0,\; x=\pm1.$$

Проверим значения:

$$f(0)=2{,}25,\qquad f(\pm1)=1+0{,}25=1{,}25.$$

Минимум достигается при $$x=\pm1$$. Тогда

$$M_1(-1;1),\quad M_2(1;1).$$

б) Пусть точка на графике $$y=\sqrt{x}$$ имеет координаты $$M(x;\sqrt{x})$$, где $$x\ge 0$$. Тогда квадрат расстояния от точки $$A(4{,}5;0)$$ до точки $$M$$ равен

$$AM^2=(x-4{,}5)^2+(\sqrt{x})^2=(x-4{,}5)^2+x.$$

Обозначим

$$g(x)=(x-4{,}5)^2+x=x^2-8x+20{,}25,\qquad x\ge 0.$$

Найдём минимум:

$$g'(x)=2x-8.$$

$$2x-8=0 \Rightarrow x=4.$$

Тогда

$$M(4;2).$$