Упр.46.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у = 2х2 (снизу), у = 4х (сверху) и параллелен оси у. б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у = х2 (снизу), у = -2х (сверху) и параллелен оси у.

Подробный ответ

а) Длина вертикального отрезка между графиками равна разности ординат:

$$l(x)=4x-2x^2.$$

Найдём наибольшее значение этой функции:

$$l(x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=-2\bigl((x-1)^2-1\bigr)=-2(x-1)^2+2.$$

Так как $$-2(x-1)^2\le 0,$$ то наибольшее значение $$l(x)$$ равно $$2$$ и достигается при $$x=1.$$

Следовательно, наибольшая длина отрезка равна $$2.$$

б) Длина вертикального отрезка между графиками равна

$$l(x)=-2x-x^2.$$

Преобразуем:

$$l(x)=-x^2-2x=-(x^2+2x)= -\bigl((x+1)^2-1\bigr)=-(x+1)^2+1.$$

Максимум этой функции равен $$1,$$ он достигается при $$x=-1.$$