Упр.46.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) В арифметической прогрессии с разностью d девятый член равен 1. При каком значении d произведение четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим? б) В арифметической прогрессии с разностью d второй член равен 6. При каком значении d произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?

а) Обозначим первый член прогрессии через $$a_1$$. Тогда

$$a_9=a_1+8d=1,$$

откуда

$$a_1=1-8d.$$

Тогда

$$a_4=a_1+3d=1-5d,$$

$$a_7=a_1+6d=1-2d,$$

$$a_8=a_1+7d=1-d.$$

Искомое произведение:

$$P(d)=(1-5d)(1-2d)(1-d).$$

Раскроем скобки:

$$P(d)=1-8d+17d^2-10d^3.$$

Найдём производную:

$$P'(d)=-8+34d-30d^2.$$

Решим уравнение $$P'(d)=0$$:

$$-8+34d-30d^2=0$$

$$15d^2-17d+4=0$$

$$D=17^2-4\cdot 15\cdot 4=289-240=49,$$

$$d=\frac{17\pm 7}{30}.$$

Получаем

$$d=\frac{1}{3}\quad \text{или} \quad d=\frac{4}{5}.$$

Проверим вторую производную:

$$P»(d)=34-60d.$$

$$P»\!\left(\frac{1}{3}\right)=14>0,$$ значит, при $$d=\frac{1}{3}$$ произведение имеет минимум.

$$P»\!\left(\frac{4}{5}\right)=-14<0,$$ значит, при $$d=\frac{4}{5}$$ произведение имеет максимум.

Следовательно, наибольшее значение произведения достигается при

$$d=\frac{4}{5}.$$

б) Аналогично, пусть $$a_2=a_1+d=6,$$ тогда

$$a_1=6-d.$$

Тогда

$$a_3=a_1+2d=6+d,$$

$$a_6=a_1+5d=6+4d.$$

Искомое произведение:

$$Q(d)=(6-d)(6+d)(6+4d).$$

Упростим:

$$Q(d)=(36-d^2)(6+4d)=216+144d-6d^2-4d^3.$$

Найдём производную:

$$Q'(d)=144-12d-12d^2.$$

Решим уравнение $$Q'(d)=0$$:

$$144-12d-12d^2=0$$

$$d^2+d-12=0$$

$$D=1+48=49,$$

$$d=\frac{-1\pm 7}{2}.$$

Получаем

$$d=3 \quad \text{или} \quad d=-4.$$

Вторая производная:

$$Q»(d)=-12-24d.$$

$$Q»(3)=-84<0,$$ значит, при $$d=3$$ — максимум.

$$Q»(-4)=84>0,$$ значит, при $$d=-4$$ — минимум.

Следовательно, наименьшее значение произведения достигается при

$$d=-4.$$

Ответ

а) $$d=\frac{4}{5}$$; б) $$d=-4$$.