Упр.46.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах АВ и ВС взяты соответственно точки Р и Е так, что BP = BE = 3 см. На сторонах AD и CD берутся точки соответственно К и М так, что четырехугольник КРЕМ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Подробный ответ

Расположим квадрат в координатной плоскости: пусть $$A(0,0),\ B(8,0),\ C(8,8),\ D(0,8).$$

Тогда точки имеют координаты:

$$P(5,0), \quad E(8,3).$$

Пусть $$K(0,k)$$ на стороне $$AD$$, а $$M(m,8)$$ на стороне $$CD$$.

Так как четырехугольник $$KPEM$$ — трапеция, то одна из его пар противоположных сторон параллельна. В данном расположении удобно взять условие

$$KP \parallel EM.$$

Тогда их угловые коэффициенты равны:

$$k-0 \over 0-5 = {8-3 \over m-8}$$

то есть

$$-{k \over 5} = {5 \over m-8}.$$

Отсюда

$$k(8-m)=25.$$

Площадь трапеции равна площади четырехугольника с вершинами $$K,P,E,M$$. Удобно выразить ее через основания и высоту. Так как стороны $$KP$$ и $$EM$$ параллельны, а расстояние между прямыми равно высоте трапеции, получаем максимальную площадь при наибольшем возможном основании, то есть когда точки $$K$$ и $$M$$ совпадают с вершинами квадрата, ближайшими к данным точкам:

$$K \equiv A,\quad M \equiv D.$$

Тогда трапеция имеет вершины $$A,P,E,D$$, ее основания:

$$AP=5,\quad DE=5,$$

а высота равна стороне квадрата:

$$h=8.$$

Следовательно, максимальная площадь:

$$S_{\max}={AP+DE \over 2}\cdot h={5+5 \over 2}\cdot 8=40.$$