Упр.46.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 м2. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки рабицы?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда при фиксированной площади $$2500\ \text{м}^2$$ имеем

$$xy=2500.$$

Периметр забора

$$P=2x+2y.$$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$y=\frac{2500}{x}, \quad x>0.$$

Тогда

$$P(x)=2x+2\cdot \frac{2500}{x}=2x+\frac{5000}{x}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$P'(x)=2-\frac{5000}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2-\frac{5000}{x^2}=0$$

$$2=\frac{5000}{x^2}$$

$$x^2=2500$$

$$x=50$$

Так как $$x>0$$, получаем $$x=50$$. Тогда

$$y=\frac{2500}{50}=50.$$

Значит, наименьшее количество сетки потребуется для квадрата со стороной 50 м.

Ответ

$$50\ \text{м} \times 50\ \text{м}$$