Упр.46.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? б) Площадь прямоугольника составляет 64 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Подробный ответ

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда при фиксированной площади $$S=xy$$ периметр

$$P=2(x+y).$$

При неизменном произведении $$xy$$ сумма $$x+y$$ наименьшая тогда, когда $$x=y$$. Значит, прямоугольник с наименьшим периметром при данной площади — это квадрат.

а) Если $$xy=16$$, то

$$x=y,\quad x^2=16,\quad x=4.$$

Следовательно, размеры прямоугольника: $$4\text{ см}$$ и $$4\text{ см}$$.

б) Если $$xy=64$$, то

$$x=y,\quad x^2=64,\quad x=8.$$

Следовательно, размеры прямоугольника: $$8\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$.