Упр.46.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда по условию

$$2(x+y)=56 \quad \Rightarrow \quad x+y=28.$$

Площадь прямоугольника

$$S=xy=x(28-x)= -x^2+28x.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение площадь принимает в вершине:

$$x=\frac{28}{2}=14.$$

Тогда

$$y=28-14=14.$$

Аналогично для второго случая:

$$2(x+y)=72 \quad \Rightarrow \quad x+y=36,$$

$$S=xy=x(36-x)= -x^2+36x.$$

Максимум достигается при

$$x=\frac{36}{2}=18,$$

тогда

$$y=36-18=18.$$

Ответ

а) $$14\text{ см}$$ и $$14\text{ см}$$; б) $$18\text{ см}$$ и $$18\text{ см}$$.