Упр.46.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей, б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.
а) Пусть первое слагаемое равно $$x$$, тогда второе равно $$3-x$$, где $$0<x<3$$.
Рассмотрим функцию
$$f(x)=3x+(3-x)^3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3-3(3-x)^2\cdot(-1)=3-3(3-x)^2.$$
Упростим:
$$f'(x)=3\bigl(1-(3-x)^2\bigr).$$
Приравняем производную к нулю:
$$3\bigl(1-(3-x)^2\bigr)=0,$$
$$1-(3-x)^2=0,$$
$$3-x=\pm 1.$$
С учётом условия $$0<x<3$$ получаем:
$$3-x=1,\quad x=2.$$
Тогда второе слагаемое:
$$3-2=1.$$
Проверка показывает, что при $$x=2$$ значение функции минимально.
б) Пусть первое слагаемое равно $$x$$, тогда второе равно $$5-x$$, где $$0<x<5$$.
Рассмотрим функцию
$$f(x)=x(5-x)^3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(5-x)^3+x\cdot 3(5-x)^2\cdot(-1).$$
Вынесем общий множитель:
$$f'(x)=(5-x)^2\bigl((5-x)-3x\bigr)=(5-x)^2(5-4x).$$
Приравняем производную к нулю:
$$ (5-x)^2(5-4x)=0.$$
Так как $$0<x<5$$, то $$x\neq 5$$, значит
$$5-4x=0,\quad x=\frac54.$$
Тогда второе слагаемое:
$$5-\frac54=\frac{15}{4}.$$
Это значение даёт максимум произведения.
Ответ
а) $$2$$ и $$1$$; б) $$\frac54$$ и $$\frac{15}{4}$$.
