Упр.46.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию периметр равен $$200$$ м, значит

$$2(x+y)=200,$$

откуда

$$x+y=100,\qquad y=100-x.$$

Площадь прямоугольника

$$S(x)=x\cdot y=x(100-x)=100x-x^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому наибольшая площадь достигается в вершине:

$$x=\frac{100}{2}=50.$$

Тогда

$$y=100-50=50.$$

Значит, наибольшую площадь имеет квадрат со стороной $$50$$ м.

Аналогично для периметра $$240$$ м:

$$2(x+y)=240,\qquad x+y=120,\qquad y=120-x.$$

Площадь

$$S(x)=x(120-x)=120x-x^2.$$

Максимум достигается при

$$x=\frac{120}{2}=60,$$

тогда

$$y=120-60=60.$$

Следовательно, и здесь наибольшая площадь у квадрата.

Ответ

а) $$50\text{ м} \times 50\text{ м}$$.

б) $$60\text{ м} \times 60\text{ м}$$.