Упр.46.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение. б) Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе число равно $$24-x$$.

Их произведение:

$$P=x(24-x)=24x-x^2.$$

Это квадратная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение произведение принимает в вершине:

$$x=\frac{24}{2}=12.$$

Тогда второе число:

$$24-12=12.$$

Проверка: $$12\cdot 12=144$$ — это наибольшее возможное значение при фиксированной сумме 24.

Для второго пункта пусть числа равны $$x$$ и $$\frac{484}{x}$$, где $$x>0$$. Тогда их сумма:

$$S=x+\frac{484}{x}.$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{x+\frac{484}{x}}{2}\ge \sqrt{x\cdot \frac{484}{x}}=\sqrt{484}=22.$$

Значит,

$$S\ge 44,$$

и равенство достигается при

$$x=\frac{484}{x}, \quad x^2=484, \quad x=22.$$

Следовательно, оба числа равны $$22$$.

Ответ

а) $$12$$ и $$12$$; б) $$22$$ и $$22$$.