Упр.46.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство: a) x5 + (1 — x)5 > = 1/16 б) x7 + (1 — x)7 > корень2 /100

Подробный ответ

а) Пусть $$y=x^5+(1-x)^5.$$ Тогда

$$y’=5x^4-5(1-x)^4=5\bigl(x^2-(1-x)^2\bigr)\bigl(x^2+(1-x)^2\bigr).$$

Так как

$$x^2-(1-x)^2=(2x-1),$$

то

$$y’=5(2x-1)\bigl(x^2+(1-x)^2\bigr).$$

Выражение $$x^2+(1-x)^2$$ всегда положительно, значит знак производной определяется множителем $$2x-1$$. Следовательно, функция убывает при $$x<\frac12$$ и возрастает при $$x>\frac12$$, то есть минимум достигается при $$x=\frac12$$.

Найдём значение функции в этой точке:

$$y\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^5+\left(1-\frac12\right)^5=2\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac1{16}.$$

Значит, для всех $$x$$ выполняется

$$x^5+(1-x)^5\ge \frac1{16}.$$

б) Пусть $$y=x^7+(1-x)^7.$$ Тогда

$$y’=7x^6-7(1-x)^6=7\bigl(x^3-(1-x)^3\bigr)\bigl(x^3+(1-x)^3\bigr).$$

Причём

$$x^3-(1-x)^3=(2x-1)\bigl(x^2-x+1\bigr),$$

а $$x^2-x+1>0$$ при любых $$x$$. Кроме того,

$$x^3+(1-x)^3=(x+(1-x))\bigl(x^2-x(1-x)+(1-x)^2\bigr)=x^2-x+1>0.$$

Следовательно, знак производной снова определяется множителем $$2x-1$$, и минимум функции достигается при $$x=\frac12$$.

Вычислим: