Упр.46.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = корень(1 + cos 2х), [-пи/2; пи/2] б) у = корень(1 + sin х), [0; пи/2]; в) y = корень(1 — sin 2x), [-0; пи]; г) у = корень(1 + cos 2х), [-пи/2; 0].
а) $$y=\sqrt{1+\cos 2x}, \quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$0\le 1+\cos 2x\le 2,$$
следовательно,
$$0\le \sqrt{1+\cos 2x}\le \sqrt{2}.$$
Значит, $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
б) $$y=\sqrt{1+\sin x}, \quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$0\le \sin x\le 1.$$ Тогда
$$1\le 1+\sin x\le 2,$$
откуда
$$1\le \sqrt{1+\sin x}\le \sqrt{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
в) $$y=\sqrt{1-\sin 2x}, \quad x\in[0;\pi]$$
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$0\le 1-\sin 2x\le 2,$$
следовательно,
$$0\le \sqrt{1-\sin 2x}\le \sqrt{2}.$$
Значит, $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
г) $$y=\sqrt{1+\cos 2x}, \quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$
На данном отрезке $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ поэтому
$$0\le 1+\cos 2x\le 2,$$
и, значит,
$$0\le \sqrt{1+\cos 2x}\le \sqrt{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\sqrt{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$; б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\sqrt{2}$$.
