Упр.46.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каком значении параметра n сумма квадратов корней уравнения х2 — 2nх + 4n2 + Зn = О будет наибольшей? б) При каком значении параметра n сумма квадратов корней уравнения х2 + nх + 2n — 1 = 0 будет наименьшей?

Подробный ответ

а) Для уравнения $$x^2-2nx+4n^2+3n=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=2n,\qquad x_1x_2=4n^2+3n.$$

Тогда сумма квадратов корней:

$$ S=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = (2n)^2-2(4n^2+3n) = -4n^2-6n. $$

Нужно найти наибольшее значение функции $$S(n)=-4n^2-6n.$$ Это парабола, ветви направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$ n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot(-4)}=-\frac34. $$

б) Для уравнения $$x^2+nx+2n-1=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-n,\qquad x_1x_2=2n-1.$$

Сумма квадратов корней:

$$ S=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = n^2-2(2n-1) = n^2-4n+2. $$

Это парабола, ветви направлены вверх, значит минимум достигается в вершине:

$$ n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2. $$

Проверим, что при этом корни действительные:

$$ D=n^2-4(2n-1)=n^2-8n+4. $$

При $$n=2$$ получаем $$D=4-16+4=-8<0,$$ значит действительных корней нет. Следовательно, нужно учитывать область, где корни существуют:

$$ n^2-8n+4\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; n\le 4-2\sqrt3 \;\text{ или }\; n\ge 4+2\sqrt3. $$

На этой области функция $$S(n)=n^2-4n+2$$ убывает на $$(-\infty,2]$$ и возрастает на $$[2,+\infty),$$ поэтому наименьшее значение на допустимой области достигается в ближайшей к вершине точке $$n=4-2\sqrt3.$$