Упр.46.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каком значении параметра а наименьшее значение функции у = х корень(х + a) равно -6корень3? б) При каком значении параметра а наибольшее значение функции у = (а — х)корень х равно 10корень5?

а) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{x+a}.$$

Найдём производную:

$$ y’=\sqrt{x+a}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+a}}=\frac{2(x+a)+x}{2\sqrt{x+a}}=\frac{3x+2a}{2\sqrt{x+a}}. $$

Область определения: $$x+a\ge 0,$$ то есть $$x\ge -a.$$

Так как знаменатель при допустимых значениях положителен, знак производной определяется числителем. Критическая точка:

$$3x+2a=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{2a}{3}.$$

В этой точке функция достигает минимума, поэтому

$$ y_{\min}=y\!\left(-\frac{2a}{3}\right) =-\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{2a}{3}+a} =-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}. $$

По условию:

$$-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}=-6\sqrt{3}.$$

Возведём в куб обе части после преобразования:

$$ \frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}=6\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{4a^2}{9}\cdot \frac{a}{3}=36\cdot 3. $$

$$ \frac{4a^3}{27}=108 \quad \Rightarrow \quad a^3=729 \quad \Rightarrow \quad a=9. $$

б) Рассмотрим функцию $$y=(a-x)\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$ y’=-\sqrt{x}+(a-x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{-2x+a-x}{2\sqrt{x}} =\frac{a-3x}{2\sqrt{x}}. $$

Критическая точка:

$$a-3x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{a}{3}.$$

В этой точке функция достигает максимума, значит

$$ y_{\max}=y\!\left(\frac{a}{3}\right) =\left(a-\frac{a}{3}\right)\sqrt{\frac{a}{3}} =\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}. $$

По условию:

$$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}=10\sqrt{5}.$$

Возведём в куб:

$$ \frac{4a^2}{9}\cdot \frac{a}{3}=100\cdot 5 $$

$$ \frac{4a^3}{27}=500 \quad \Rightarrow \quad a^3=3375 \quad \Rightarrow \quad a=15. $$

Ответ

а) $$a=9$$; б) $$a=15$$.