Упр.46.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: у = (-2х2 — 2х — 38)/( х2 + 6х + 34)

Найдём область значений функции

$$y=\frac{-2x^2-2x-38}{x^2+6x+34}.$$

Знаменатель всегда положителен, так как

$$x^2+6x+34=(x+3)^2+25>0.$$

Следовательно, функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$ y’=\frac{(-4x-2)(x^2+6x+34)-(-2x^2-2x-38)(2x+6)}{(x^2+6x+34)^2}. $$

Упростим числитель:

$$ (-4x-2)(x^2+6x+34)=-4x^3-26x^2-148x-68, $$

$$ (-2x^2-2x-38)(2x+6)=-4x^3-16x^2-88x-228. $$

Тогда

$$ y’=\frac{-10x^2-60x+160}{(x^2+6x+34)^2} =\frac{-10(x^2+6x-16)}{(x^2+6x+34)^2} =\frac{-10(x+8)(x-2)}{(x^2+6x+34)^2}. $$

Критические точки: $$x=-8$$ и $$x=2.$$

Так как знаменатель положителен, знак производной определяется выражением $$-10(x+8)(x-2).$$

На промежутке $$[-8;2]$$ имеем $$y’ \ge 0,$$ значит, функция возрастает, и её значения на этом промежутке заключены между значениями в концах:

$$ y(-8)=\frac{-2\cdot 64-2\cdot(-8)-38}{64+6\cdot(-8)+34} =\frac{-128+16-38}{64-48+34} =\frac{-150}{50}=-3, $$

$$ y(2)=\frac{-2\cdot 4-2\cdot 2-38}{4+12+34} =\frac{-8-4-38}{50} =\frac{-50}{50}=-1. $$

Кроме того, при $$x\to\infty$$

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{-2x^2-2x-38}{x^2+6x+34}=-2, $$

то есть горизонтальная асимптота равна $$y=-2.$$

Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=[-3;-1].$$

Ответ

$$[-3;-1]$$