Упр.46.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = x корень(x + 2); б) у = х корень(1 — 2х).

а) $$y=x\sqrt{x+2}$$

Найдём производную:

$$y’=(x)’\sqrt{x+2}+x\left(\sqrt{x+2}\right)’$$

$$y’=\sqrt{x+2}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$$

Область определения функции:

$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2$$

Так как знаменатель $$2\sqrt{x+2}$$ положителен при $$x>-2$$, то для возрастания нужно:

$$3x+4\ge 0$$

$$x\ge -\frac{4}{3}$$

Минимум достигается в точке $$x=-\frac{4}{3}$$:

$$y_{\min}=y\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2}=-\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{4\sqrt6}{9}$$

Сверху функция не ограничена, значит область значений:

$$y\in\left[-\frac{4\sqrt6}{9};+\infty\right)$$

б) $$y=x\sqrt{1-2x}$$

Найдём производную:

$$y’=(x)’\sqrt{1-2x}+x\left(\sqrt{1-2x}\right)’$$

$$y’=\sqrt{1-2x}+x\cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}}=\sqrt{1-2x}-\frac{x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}$$

Область определения функции:

$$1-2x\ge 0,\quad x\le \frac12$$

Так как знаменатель $$\sqrt{1-2x}$$ положителен при $$x<\frac12$$, то для возрастания нужно:

$$1-3x\ge 0$$

$$x\le \frac13$$

Максимум достигается в точке $$x=\frac13$$:

$$y_{\max}=y\left(\frac13\right)=\frac13\sqrt{1-\frac23}=\frac13\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{9}$$

Снизу функция не ограничена, значит область значений:

$$y\in\left(-\infty;\frac{\sqrt3}{9}\right]$$

Ответ

а) $$y\in\left[-\frac{4\sqrt6}{9};+\infty\right)$$; б) $$y\in\left(-\infty;\frac{\sqrt3}{9}\right]$$.