Упр.46.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: a) у = 2х — корень(6x — 4), х € [1/4; 17/4]; б) у = 2корень(х — 1) — 0,5x, х € [1; 10].

Подробный ответ

$$y=2x-\sqrt{16x-4}, \quad x\in\left[\frac14;\frac{17}{4}\right].$$
Найдём производную:
$$y’=2-\frac{16}{2\sqrt{16x-4}}=2-\frac{8}{\sqrt{16x-4}}.$$
Стационарная точка:
$$2-\frac{8}{\sqrt{16x-4}}=0,$$
$$\sqrt{16x-4}=4,$$
$$16x-4=16,$$
$$x=\frac54.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$y\left(\frac14\right)=2\cdot\frac14-\sqrt{16\cdot\frac14-4}=\frac12,$$
$$y\left(\frac54\right)=2\cdot\frac54-\sqrt{16\cdot\frac54-4}=\frac52-4=-\frac32,$$
$$y\left(\frac{17}{4}\right)=2\cdot\frac{17}{4}-\sqrt{16\cdot\frac{17}{4}-4}=\frac{17}{2}-8=\frac12.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac12,$$ наименьшее — $$-\frac32.$$
$$y=2\sqrt{x-1}-0{,}5x, \quad x\in[1;10].$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac12.$$
Стационарная точка:
$$\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac12=0,$$
$$\frac{2-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=0,$$
$$\sqrt{x-1}=2,$$
$$x-1=4,$$
$$x=5.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$y(1)=2\sqrt{1-1}-0{,}5\cdot1=-\frac12,$$
$$y(5)=2\sqrt{5-1}-0{,}5\cdot5=4-\frac52=\frac32,$$
$$y(10)=2\sqrt{10-1}-0{,}5\cdot10=6-5=1.$$
Значит, наименьшее значение равно $$-\frac12,$$ наибольшее — $$\frac32.$$