Упр.46.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее значение функции: a) у = 2|х| — 4; б) у = х2- 5|х| + 6; в) у = 3|х| + 9; г) у = х2- 6|х| — 7.

Подробный ответ

а) $$y=2|x|-4$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то наименьшее значение выражение $$2|x|$$ принимает при $$x=0$$.
$$y_{\min}=2\cdot 0-4=-4.$$
б) $$y=x^2-5|x|+6$$
Рассмотрим случаи:
$$y= \begin{cases} x^2-5x+6, & x\ge 0,\\ x^2+5x+6, & x<0. \end{cases}$$
Для $$x\ge 0$$ функция $$y=x^2-5x+6$$ — парабола, её вершина при
$$x=\frac{5}{2}.$$
Подставим:
$$y\left(\frac{5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)^2-5\cdot \frac{5}{2}+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac{1}{4}.$$
Для $$x<0$$ функция $$y=x^2+5x+6$$ имеет вершину при $$x=-\frac{5}{2}$$, и
$$y\left(-\frac{5}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2}\right)^2+5\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)+6=-\frac{1}{4}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac{1}{4}.$$
в) $$y=3|x|+9$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=3\cdot 0+9=9.$$
г) $$y=x^2-6|x|-7$$
Рассмотрим случаи:
$$y= \begin{cases} x^2-6x-7, & x\ge 0,\\ x^2+6x-7, & x<0. \end{cases}$$
Для $$x\ge 0$$:
$$y=x^2-6x-7=(x-3)^2-16,$$
значит, минимум достигается при $$x=3$$ и равен $$-16$$.
Для $$x<0$$:
$$y=x^2+6x-7=(x+3)^2-16,$$
минимум достигается при $$x=-3$$ и также равен $$-16$$.
Следовательно,
$$y_{\min}=-16.$$