Упр.46.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее значение функции: a) у = корень(5 — х2) + корень х; б) у = корень(-х) + корень(5 — х2).

а) $$y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}.$$

Область определения:

$$5-x^2\ge 0,\quad x\ge 0.$$

Отсюда $$0\le x\le \sqrt5.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\sqrt{5-x^2}\right)’+\left(\sqrt{x}\right)’=-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}=0.$$

$$\sqrt{5-x^2}=2x\sqrt{x}.$$

Возведём в квадрат:

$$5-x^2=4x^3.$$

$$4x^3+x^2-5=0.$$

Подходит $$x=1$$. На концах отрезка и в найденной точке вычислим значение функции:

$$y(0)=\sqrt5,$$

$$y(1)=\sqrt{4}+1=3,$$

$$y(\sqrt5)=0+\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{5}.$$

Наибольшее значение функции равно $$3$$.

б) $$y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}.$$

Область определения:

$$-x\ge 0,\quad 5-x^2\ge 0.$$

Отсюда $$-\sqrt5\le x\le 0.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\sqrt{-x}\right)’+\left(\sqrt{5-x^2}\right)’=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}=0.$$

$$\sqrt{5-x^2}=-2x\sqrt{-x}.$$

Возведём в квадрат:

$$5-x^2=4x^3.$$

$$4x^3+x^2-5=0.$$

Подходит $$x=-1$$. Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y(-\sqrt5)=\sqrt[4]{5},$$

$$y(-1)=1+2=3,$$

$$y(0)=\sqrt5.$$

Наибольшее значение функции равно $$3$$.

Ответ

а) $$3$$; б) $$3$$.