Упр.46.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее значение функции: a) у = -х8 + 2х4 +1; б) у = -х4 + 4/3х3 + 2/3

а) $$y=-x^8+2x^4+1$$

Найдём производную:

$$y’=-8x^7+8x^3=8x^3(1-x^4)=8x^3(1-x^2)(1+x^2)=8x^3(1-x)(1+x)(1+x^2).$$

Критические точки: $$x=-1,\;x=0,\;x=1.$$

Знак производной показывает, что функция возрастает при $$x\le -1$$ и при $$0\le x\le 1.$$

Проверим значение в точке $$x=\pm1$$:

$$y(1)=-(1)^8+2\cdot(1)^4+1=-1+2+1=2,$$

$$y(-1)=-( -1)^8+2\cdot(-1)^4+1=-1+2+1=2.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$2.$$

б) $$y=-x^4+\frac{4}{3}x^3+\frac{2}{3}$$

Найдём производную:

$$y’=-4x^3+4x^2=4x^2(1-x).$$

Критические точки: $$x=0,\;x=1.$$

Так как $$4x^2\ge 0,$$ то $$y’\ge 0$$ при $$x\le 1.$$ Значит, функция возрастает до точки $$x=1,$$ а затем убывает.

Вычислим значение функции в точке максимума:

$$y(1)=-1+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=-1+2=1.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$1.$$

Ответ

а) $$y_{\max}=2$$; б) $$y_{\max}=1$$.