Упр.46.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = корень(2х2 — 5x + 2); б) y = корень(3×2 + 6x + 4); в) y = корень(x2 + 6x — 7); г) y = корень(2×2 — 2x + 1).
а) $$y=\sqrt{2x^2-5x+2}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{2x^2-5x+2}\right)’=\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}.$$
Для возрастания нужно, чтобы $$y’\ge 0$$. Так как знаменатель положителен на области определения, получаем:
$$4x-5\ge 0,\quad x\ge \frac54.$$
Найдём область определения:
$$2x^2-5x+2\ge 0$$
$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)\ge 0,$$
откуда
$$x\le \frac12 \text{ или } x\ge 2.$$
На области определения условие $$x\ge \frac54$$ выполняется только при $$x\ge 2$$, значит функция возрастает на промежутке $$[2,+\infty)$$. Минимум достигается в точке $$x=2$$:
$$y_{\min}=\sqrt{2\cdot 2^2-5\cdot 2+2}=\sqrt{0}=0.$$
Максимума нет, так как при $$x\to +\infty$$ значение функции неограниченно возрастает.
б) $$y=\sqrt{3x^2+6x+4}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{3x^2+6x+4}\right)’=\frac{6x+6}{2\sqrt{3x^2+6x+4}}=\frac{3x+3}{\sqrt{3x^2+6x+4}}.$$
Для возрастания:
$$3x+3\ge 0,\quad x\ge -1.$$
Область определения: подкоренное выражение всегда положительно, так как
$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит $$3x^2+6x+4>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
Следовательно, минимум достигается при $$x=-1$$:
$$y_{\min}=\sqrt{3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)+4}=\sqrt{1}=1.$$
Максимума нет.
в) $$y=\sqrt{x^2+6x-7}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{x^2+6x-7}\right)’=\frac{2x+6}{2\sqrt{x^2+6x-7}}=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x-7}}.$$
Для возрастания:
$$x+3\ge 0,\quad x\ge -3.$$
Область определения:
$$x^2+6x-7\ge 0$$
$$x^2+6x-7=(x+7)(x-1)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -7 \text{ или } x\ge 1.$$
На области определения условие $$x\ge -3$$ выполняется только при $$x\ge 1$$, значит функция возрастает на $$[1,+\infty)$$. Минимум достигается при $$x=1$$:
$$y_{\min}=\sqrt{1+6-7}=0.$$
Максимума нет.
г) $$y=\sqrt{2x^2-2x+1}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{2x^2-2x+1}\right)’=\frac{4x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}=\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}}.$$
Для возрастания:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
Область определения: подкоренное выражение всегда положительно, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0,$$
значит $$2x^2-2x+1>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
Минимум достигается при $$x=\frac12$$:
$$y_{\min}=\sqrt{2\left(\frac12\right)^2-2\cdot \frac12+1}=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Максимума нет.
Ответ
а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ не существует; б) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},$$ $$y_{\max}$$ не существует.
