Упр.46.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: a) у = корень((x — 5)(15 — х)); б) y = корень((2х + 4)(3 — х)); в) у = корень((12 — х)(х — 4)); г) у = корень((5 — х)(3х + 6)).

1. а) $$y=\sqrt{(x-5)(15-x)}=\sqrt{-x^2+20x-75}.$$

   Область определения:

   $$ (x-5)(15-x)\ge 0,\quad 5\le x\le 15.$$

   Подкоренное выражение — парабола, ветви вниз, максимум достигается в вершине:

   $$x=\frac{20}{2}=10.$$

   Тогда

   $$y_{\max}=\sqrt{(10-5)(15-10)}=\sqrt{25}=5.$$

   Минимум на концах отрезка:

   $$y(5)=0,\quad y(15)=0.$$

2. б) $$y=\sqrt{(2x+4)(3-x)}=\sqrt{-2x^2+2x+12}.$$

   Область определения:

   $$ (2x+4)(3-x)\ge 0,\quad -2\le x\le 3.$$

   Максимум подкоренного выражения достигается в вершине параболы:

   $$x=\frac{2}{4}=\frac12.$$

   Тогда

   $$y_{\max}=\sqrt{\left(2\cdot\frac12+4\right)\left(3-\frac12\right)}=\sqrt{5\cdot\frac52}=\frac{5\sqrt2}{2}.$$

   Минимум на концах отрезка:

   $$y(-2)=0,\quad y(3)=0.$$

3. в) $$y=\sqrt{(12-x)(x-4)}=\sqrt{-x^2+16x-48}.$$

   Область определения:

   $$ (12-x)(x-4)\ge 0,\quad 4\le x\le 12.$$

   Максимум подкоренного выражения достигается в вершине:

   $$x=\frac{16}{2}=8.$$

   Тогда

   $$y_{\max}=\sqrt{(12-8)(8-4)}=\sqrt{16}=4.$$

   Минимум на концах отрезка:

   $$y(4)=0,\quad y(12)=0.$$

4. г) $$y=\sqrt{(5-x)(3x+6)}=\sqrt{-3x^2+9x+30}.$$

   Область определения:

   $$ (5-x)(3x+6)\ge 0,\quad -2\le x\le 5.$$

   Максимум подкоренного выражения достигается в вершине:

   $$x=\frac{9}{6}=\frac32.$$

   Тогда

   $$y_{\max}=\sqrt{\left(5-\frac32\right)\left(3\cdot\frac32+6\right)}=\sqrt{\frac72\cdot\frac{21}{2}}=\frac{7\sqrt3}{2}.$$

   Минимум на концах отрезка:

   $$y(-2)=0,\quad y(5)=0.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=5$$; б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{5\sqrt2}{2}$$; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=4$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{7\sqrt3}{2}$$.