Упр.46.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = sin х — 3, [пи/2; 3пи] б) у = cos х + 0,5, [-пи; пи/3] в) у = -2 sin х + 1, [пи/3; 5пи/6] г) y = 4 — 3 cos х, [-пи/4; 7пи/6]

1. а) $$y=\sin x-3,\quad x\in\left[\frac{\pi}{2};3\pi\right]$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$-4\le \sin x-3\le -2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=-2.$$

2. б) $$y=\cos x+0{,}5,\quad x\in\left[-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-0{,}5\le \cos x+0{,}5\le 1{,}5.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-0{,}5,\quad y_{\max}=1{,}5.$$

3. в) $$y=-2\sin x+1,\quad x\in\left[\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right]$$

   На данном отрезке функция $$\sin x$$ принимает значения от $$\frac12$$ до $$1$$, то есть

   $$\frac12\le \sin x\le 1.$$

   Умножим неравенство на $$-2$$, изменив знаки:

   $$-2\le -2\sin x\le -1.$$

   Прибавим 1:

   $$-1\le -2\sin x+1\le 0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=0.$$

4. г) $$y=4-3\cos x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{6}\right]$$

   На данном отрезке функция $$\cos x$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1$$, то есть

   $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Умножим на $$-3$$:

   $$-3\le -3\cos x\le 3.$$

   Прибавим 4:

   $$1\le 4-3\cos x\le 7.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=7.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=-2$$; б) $$y_{\min}=-0{,}5,\ y_{\max}=1{,}5$$; в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=0$$; г) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}=7$$.