Упр.46.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: a) у = корень(x2 — 8х + 17); б) у = корень(7(х + 9)(х — 6)); в) у = корень(х2 + 4х + 10); г) y = корень(2(x — 4)(х + 8)).
а) $$y=\sqrt{x^2-8x+17}=\sqrt{(x-4)^2+1}.$$
Так как $$ (x-4)^2 \ge 0, $$ то наименьшее значение подкоренного выражения достигается при $$x=4.$$
Следовательно, функция принимает наименьшее значение при $$x=4.$$
б) $$y=\sqrt{7(x+9)(x-6)}.$$
Подкоренное выражение:
$$7(x+9)(x-6)=7x^2+21x-378.$$
Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение подкоренного выражения достигается в вершине:
$$x=-\frac{21}{2\cdot 7}=-\frac{3}{2}.$$
Но при $$x=-\frac{3}{2}$$ подкоренное выражение отрицательно, а функция определена только там, где
$$7(x+9)(x-6)\ge 0.$$
Отсюда $$x\le -9$$ или $$x\ge 6.$$
На границах области определения подкоренное выражение равно нулю, значит наименьшее значение функции достигается при
$$x=-9 \text{ или } x=6.$$
в) $$y=\sqrt{x^2+4x+10}=\sqrt{(x+2)^2+6}.$$
Так как $$ (x+2)^2 \ge 0, $$ то наименьшее значение подкоренного выражения достигается при $$x=-2.$$
Следовательно, функция достигает наименьшего значения при $$x=-2.$$
г) $$y=\sqrt{2(x-4)(x+8)}=\sqrt{2x^2+8x-64}=\sqrt{2(x+2)^2-72}.$$
Подкоренное выражение имеет вид $$2(x+2)^2-72,$$ поэтому его наименьшее значение достигается при $$x=-2.$$
Но функция определена только при
$$2(x-4)(x+8)\ge 0,$$
то есть $$x\le -8$$ или $$x\ge 4.$$
На границах области определения подкоренное выражение равно нулю, значит наименьшее значение функции достигается при
$$x=-8 \text{ или } x=4.$$
Ответ
а) $$x=4$$; б) $$x=-9,\; x=6$$; в) $$x=-2$$; г) $$x=-8,\; x=4$$.
