Упр.46.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = корень(x — 5) + корень(9 — х); б) у = 3корень(х + 1) + корень(-х); в) у = корень(10 — 2х) + корень3х; г) y = корень(8 — 3х) + корень х.

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{9-x}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}$$
Для возрастания нужно:
$$\frac{1}{2\sqrt{x-5}}-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}\ge 0$$
$$\frac{\sqrt{9-x}-\sqrt{x-5}}{2\sqrt{x-5}\sqrt{9-x}}\ge 0$$
Так как знаменатель положителен на области определения, получаем:
$$\sqrt{9-x}-\sqrt{x-5}\ge 0$$
$$9-x\ge x-5$$
$$14\ge 2x,\quad x\le 7$$
Область определения:
$$x-5\ge 0,\quad 9-x\ge 0$$
$$5\le x\le 9$$
Пересечение условий даёт:
$$x=7$$
б) $$y=3\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}$$
Для возрастания нужно:
$$\frac{3}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}\ge 0$$
$$\frac{3\sqrt{-x}-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}\sqrt{-x}}\ge 0$$
На области определения знаменатель положителен, значит:
$$3\sqrt{-x}-\sqrt{x+1}\ge 0$$
$$9(-x)\ge x+1$$
$$-9x\ge x+1$$
$$-10x\ge 1,\quad x\le -0{,}1$$
Область определения:
$$x+1\ge 0,\quad -x\ge 0$$
$$-1\le x\le 0$$
Пересечение условий даёт:
$$x=-0{,}1$$
в) $$y=\sqrt{10-2x}+\sqrt{3x}$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}+\frac{3}{2\sqrt{3x}}$$
Для возрастания нужно:
$$-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}+\frac{3}{2\sqrt{3x}}\ge 0$$
$$\frac{3\sqrt{10-2x}-2\sqrt{3x}}{2\sqrt{3x}\sqrt{10-2x}}\ge 0$$
Значит,
$$3\sqrt{10-2x}-2\sqrt{3x}\ge 0$$
$$9(10-2x)\ge 4\cdot 3x$$
$$90-18x\ge 12x$$
$$90\ge 30x,\quad x\le 3$$
Область определения:
$$10-2x\ge 0,\quad 3x\ge 0$$
$$0\le x\le 5$$
Пересечение условий даёт:
$$x=3$$
г) $$y=\sqrt{8-3x}+\sqrt{x}$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{3}{2\sqrt{8-3x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Для возрастания нужно:
$$-\frac{3}{2\sqrt{8-3x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\ge 0$$
$$\frac{\sqrt{8-3x}-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{8-3x}}\ge 0$$
Следовательно,
$$\sqrt{8-3x}-3\sqrt{x}\ge 0$$
$$8-3x\ge 9x$$
$$8\ge 12x,\quad x\le \frac{2}{3}$$
Область определения:
$$8-3x\ge 0,\quad x\ge 0$$
$$0\le x\le \frac{8}{3}$$
Пересечение условий даёт:
$$x=\frac{2}{3}$$