Упр.46.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: a) у = корень((х — 1)(10 — х)); б) у = корень((x + 2)(4 — х)); в) у = корень((2x — 6)(7 — х)); г) у = корень((5 — х)(х — 3)).
Для функции вида $$y=\sqrt{(x-a)(b-x)}$$ подкоренное выражение можно преобразовать к квадратному трёхчлену. Наибольшее значение функция достигает в той точке области определения, где производная равна нулю.
$$y=\sqrt{(x-1)(10-x)}=\sqrt{-x^2+11x-10}$$
$$y’=\frac{11-2x}{2\sqrt{-x^2+11x-10}}$$
Для возрастания нужно:
$$11-2x\ge 0$$
$$x\le \frac{11}{2}$$
Область определения:
$$ (x-1)(10-x)\ge 0,\quad 1\le x\le 10 $$
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=\frac{11}{2}$$.
$$y=\sqrt{(x+2)(4-x)}=\sqrt{-x^2+2x+8}$$
$$y’=\frac{1-x}{\sqrt{-x^2+2x+8}}$$
Для возрастания нужно:
$$1-x\ge 0$$
$$x\le 1$$
Область определения:
$$ (x+2)(4-x)\ge 0,\quad -2\le x\le 4 $$
Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=1$$.
$$y=\sqrt{(2x-6)(7-x)}=\sqrt{-2x^2+20x-42}$$
$$y’=\frac{10-2x}{\sqrt{-2x^2+20x-42}}$$
Для возрастания нужно:
$$10-2x\ge 0$$
$$x\le 5$$
Область определения:
$$ (2x-6)(7-x)\ge 0,\quad 3\le x\le 7 $$
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=5$$.
$$y=\sqrt{(5-x)(x-3)}=\sqrt{-x^2+8x-15}$$
$$y’=\frac{4-x}{\sqrt{-x^2+8x-15}}$$
Для возрастания нужно:
$$4-x\ge 0$$
$$x\le 4$$
Область определения:
$$ (5-x)(x-3)\ge 0,\quad 3\le x\le 5 $$
Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=4$$.
Ответ
а) $$x=\frac{11}{2}$$; б) $$x=1$$; в) $$x=5$$; г) $$x=4$$.
