Упр.46.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции: a) у = х4 — 2х2 — 6 на отрезке [-2; 2]; б) у = х3 — 3х2 + 2 на отрезке [-1; 2].

а) $$y=x^4-2x^2-6,\quad x\in[-2;2].$$

Найдём производную:

$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки на отрезке: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$y(-2)=16-8-6=2,$$

$$y(-1)=1-2-6=-7,$$

$$y(0)=-6,$$

$$y(1)=1-2-6=-7,$$

$$y(2)=16-8-6=2.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-7,\quad y_{\max}=2,$$ поэтому

$$y_{\min}+y_{\max}=-7+2=-5.$$

б) $$y=x^3-3x^2+2,\quad x\in[-1;2].$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2-6x=3x(x-2).$$

Критические точки на отрезке: $$x=0,\;2.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$y(-1)=-1-3+2=-2,$$

$$y(0)=2,$$

$$y(2)=8-12+2=-2.$$

Значит, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2,$$ поэтому

$$y_{\min}+y_{\max}=-2+2=0.$$

Ответ

а) $$-5$$; б) $$0$$.