Упр.46.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х3 — 3х, (-оо; 0]; 6) у = x/(x4 + 3), [0; +оо); в) у = х3 — 3х, [0; +оо); г) у = x/(x4 + 3), (-оо; 0].

Подробный ответ

а) $$y=x^3-3x$$ на промежутке $$(-\infty;0]$$.
Найдём производную:
$$y’=(x^3)’-(3x)’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
Критические точки: $$x=\pm1$$. На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция возрастает при $$x\le -1$$ и убывает при $$-1\le x\le 0$$, значит наибольшее значение достигается в точке $$x=-1$$:
$$y(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2.$$
Минимального значения на $$(-\infty;0]$$ нет, так как при $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$.
б) $$y=\dfrac{x}{x^4+3}$$ на промежутке $$[0;+\infty)$$.
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(x^4+3)-x\cdot 4x^3}{(x^4+3)^2} =\frac{3-3x^4}{(x^4+3)^2} =\frac{3(1-x^4)}{(x^4+3)^2}. $$
Так как знаменатель положителен, то $$y’\ge 0$$ при $$1-x^4\ge 0$$, то есть при $$0\le x\le 1$$. Следовательно, на $$[0;1]$$ функция возрастает, а при $$x\ge 1$$ убывает.
Значения на концах и в точке перегиба:
$$y(0)=0,\qquad y(1)=\frac{1}{1^4+3}=\frac14.$$
Значит, $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}=\frac14$$.
в) $$y=x^3-3x$$ на промежутке $$[0;+\infty)$$.
Производная:
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
На $$[0;+\infty)$$ функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$, поэтому минимум достигается при $$x=1$$:
$$y(1)=1^3-3\cdot1=1-3=-2.$$
Максимального значения на $$[0;+\infty)$$ нет, так как при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$.
г) $$y=\dfrac{x}{x^4+3}$$ на промежутке $$(-\infty;0]$$.
Производная:
$$ y’=\frac{3-3x^4}{(x^4+3)^2} =\frac{3(1-x^4)}{(x^4+3)^2}. $$
На $$(-\infty;-1]$$ функция возрастает, на $$[-1;0]$$ убывает, значит максимум достигается при $$x=-1$$:
$$y(-1)=\frac{-1}{(-1)^4+3}=-\frac14.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to 0$$, но значение $$0$$ не достигается, поэтому минимума нет.