Упр.46.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = sin2 x/2 * sin х, [-пи; 0]; б) у = cos2 0,5х * cos х, [0; пи].
$$y=x+\frac{1}{x}, \quad x\in(-\infty;0)$$
Найдём производную:
$$y’=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$
Критические точки: $$x=\pm1$$, но на промежутке $$(-\infty;0)$$ подходит только $$x=-1$$.
Проверим значение функции в этой точке:
$$y(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2.$$
При $$x\to 0-$$ имеем $$y\to -\infty$$, значит наименьшего значения нет.
$$y=\frac{3x}{x^2+3}, \quad x\in[0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3(x^2+3)-3x\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то
$$y’\ge 0 \iff 9-3x^2\ge 0 \iff x^2\le 3.$$
На промежутке $$[0;+\infty)$$ функция возрастает на $$[0;\sqrt3]$$, затем убывает.
Значения на концах и в критической точке:
$$y(0)=0,$$
$$y(\sqrt3)=\frac{3\sqrt3}{(\sqrt3)^2+3}=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$y=-2x-\frac{1}{2x}, \quad x\in(0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=-2+\frac{1}{2x^2}.$$
Решим неравенство $$y’\ge 0$$:
$$-2+\frac{1}{2x^2}\ge 0 \iff \frac{1}{2x^2}\ge 2 \iff 1\ge 4x^2 \iff x\le \frac12.$$
На промежутке $$\left(0;\frac12\right]$$ функция возрастает, а при $$x\ge \frac12$$ убывает.
Найдём значение в точке максимума:
$$y\left(\frac12\right)=-2\cdot\frac12-\frac{1}{2\cdot\frac12}=-1-1=-2.$$
При $$x\to 0+$$ и $$x\to +\infty$$ функция не имеет наименьшего значения.
$$y=\sqrt{2x+6}-x, \quad x\in[-3;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x+6}}-1.$$
Решим неравенство $$y’\ge 0$$:
$$\frac{1}{\sqrt{2x+6}}-1\ge 0 \iff \frac{1}{\sqrt{2x+6}}\ge 1 \iff \sqrt{2x+6}\le 1.$$
С учётом области определения:
$$2x+6\ge 0 \iff x\ge -3,$$
$$2x+6\le 1 \iff 2x\le -5 \iff x\le -\frac52.$$
Значит, функция возрастает на $$[-3;-\frac52]$$ и убывает на $$[-\frac52;+\infty)$$.
Найдём значение в точке максимума:
$$y\left(-\frac52\right)=\sqrt{2\cdot\left(-\frac52\right)+6}-\left(-\frac52\right)=\sqrt1+\frac52=\frac72.$$
При $$x\to +\infty$$ функция убывает без нижней границы, поэтому наименьшего значения нет.
Ответ
а) $$y_{\max}=-2,$$ $$y_{\min}$$ не существует; б) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2};$$ в) $$y_{\max}=-2,$$ $$y_{\min}$$ не существует; г) $$y_{\max}=\frac72,$$ $$y_{\min}$$ не существует.
