Упр.46.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = sin3 x + cos3 x, [0; пи/2]; б) у = sin5 x — cos5 x, [-пи/2; 0].
а) $$y=x^3-2x^2+1,\quad [0{,}5;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’ = 3x^2-4x = x(3x-4).$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=\frac{4}{3}.$$
На отрезке $$[0{,}5;\frac{4}{3}]$$ функция убывает, а на $$[\frac{4}{3};+\infty)$$ возрастает, значит, минимум достигается в точке $$x=\frac{4}{3}$$:
$$ y\!\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^3-2\left(\frac{4}{3}\right)^2+1 =\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+1 =\frac{64-96+27}{27} =-\frac{5}{27}. $$
Максимума на промежутке нет, так как функция не ограничена сверху при $$x\to+\infty$$.
б) $$y=x-2\sqrt{x},\quad [0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{\sqrt{x}}.$$
Решим неравенство $$y’\ge 0$$:
$$ 1-\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x}\ge 1 \;\Longleftrightarrow\; x\ge 1. $$
Значит, функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$. Следовательно, минимум достигается при $$x=1$$:
$$y(1)=1-2\sqrt{1}=1-2=-1.$$
Максимума на промежутке нет.
в) $$y=\frac{1}{5}x^5-x^2,\quad (-\infty;1]$$
Найдём производную:
$$y’ = x^4-2x = x(x^3-2).$$
Критическая точка на промежутке: $$x=\sqrt[3]{2}.$$
На $$(-\infty;0]$$ и $$[\sqrt[3]{2};1]$$ функция возрастает, а на $$[0;\sqrt[3]{2}]$$ убывает. Поэтому наибольшее значение на данном промежутке достигается в точке $$x=0$$:
$$y(0)=0.$$
Минимум на промежутке не существует, так как при $$x\to-\infty$$ значение функции уходит в $$-\infty$$.
г) $$y=\frac{x^4}{x^4+1},\quad (-\infty;+\infty)$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{4x^3(x^4+1)-x^4\cdot 4x^3}{(x^4+1)^2} =\frac{4x^3}{(x^4+1)^2}. $$
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком $$x^3$$:
$$y’\ge 0 \iff x\ge 0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$, значит, минимум достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=0.$$
При $$x\to+\infty$$
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{x^4+1}=1, $$
поэтому наибольшего значения функция не имеет.
Ответ
а) $$y_{\min}=-\frac{5}{27},\quad y_{\max}$$ не существует;
б) $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}$$ не существует;
в) $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует;
г) $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}$$ не существует.
