Упр.46.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х2 — 4х + 5 + |1 — х|, [0; 4]; б) у = |х3 — 1| — 3х, [-1; 3].

Подробный ответ

а) $$y=\sin^2\frac{x}{2}\cdot \sin x,\quad x\in[-\pi;0].$$

Найдём производную:

$$ y’=\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)’\sin x+\sin^2\frac{x}{2}\,(\sin x)’. $$
$$ y’=\frac12\sin x\cdot \sin x+\frac{1-\cos x}{2}\cos x. $$
$$ y’=\frac12\sin^2 x+\frac12\cos x-\frac12\cos^2 x. $$
$$ y’=\frac12\bigl(\sin^2 x+2\cos x-\cos^2 x\bigr). $$

Приравняем производную к нулю:

$$ \sin^2 x+2\cos x-\cos^2 x=0. $$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда $$\sin^2 x=1-t^2$$, и получаем:
$$ 1-t^2+2t-t^2=0, $$
$$ 2t^2-2t-1=0. $$

$$ D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=4+8=12, $$
$$ t=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}. $$

Из них подходит только

$$ \cos x=\frac{1-\sqrt3}{2}, $$
так как второе значение больше 1 и не подходит для косинуса.

На отрезке $$[-\pi;0]$$ проверяем значения функции в концах отрезка и в стационарной точке. Получаем:

$$ y(-\pi)=\sin^2\left(-\frac{\pi}{2}\right)\sin(-\pi)=1\cdot 0=0, $$
$$ y(0)=\sin^2 0\cdot \sin 0=0. $$

Внутренняя стационарная точка даёт минимум функции:

$$ y_{\min}=-\frac{3\sqrt3}{8},\qquad y_{\max}=0. $$

б) $$y=\cos^2\frac{x}{2}\cdot \cos x,\quad x\in[0;\pi].$$

Найдём производную:

$$ y=\frac{1+\cos x}{2}\cos x=\frac12\cos x+\frac12\cos^2 x, $$
$$ y’=-\frac12\sin x-\frac12\cdot 2\sin x\cos x, $$
$$ y’=-\frac12\sin x-\frac12\sin 2x, $$
$$ y’=-\frac12(\sin x+\sin 2x). $$

Используем формулу суммы синусов:

$$ \sin x+\sin 2x=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}. $$
Тогда
$$ y’=-\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}. $$

Приравниваем к нулю:

$$ \sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0. $$

Отсюда:

$$ \sin\frac{3x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3}, $$
$$ \cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=\pi+2\pi n. $$

На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем точки $$x=0,\ \frac{2\pi}{3},\ \pi$$. Вычислим значения функции:

$$ y(0)=\cos^2 0\cdot \cos 0=1, $$
$$ y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos^2\frac{\pi}{3}\cdot \cos\frac{2\pi}{3} =\left(\frac12\right)^2\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac18, $$
$$ y(\pi)=\cos^2\frac{\pi}{2}\cdot \cos\pi=0. $$

Следовательно,

$$ y_{\min}=-\frac18,\qquad y_{\max}=1. $$