Упр.46.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х3 — 2х|х — 2|, [-1; 3]; б) у = 3x|x +1| — x3, [-1; 2].

Подробный ответ

а) $$y=\sin^3 x+\cos^3 x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$
Найдём производную:
$$ y’=(\sin^3 x)’+(\cos^3 x)’=3\sin^2 x\cos x-3\cos^2 x\sin x $$
$$ y’=3\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=\frac{3}{2}\sin 2x(\sin x-\cos x) $$
Критические точки на отрезке:
$$ \sin 2x=0 \Rightarrow x=0,\ \frac{\pi}{2} $$
$$ \sin x-\cos x=0 \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4} $$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$ y(0)=0^3+1^3=1 $$
$$ y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3=\frac{\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2} $$
$$ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1^3+0^3=1 $$
Следовательно,
$$ y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_{\max}=1 $$
б) $$y=\sin^5 x-\cos^5 x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$
Найдём производную:
$$ y’=(\sin^5 x)’-(\cos^5 x)’=5\sin^4 x\cos x+5\cos^4 x\sin x $$
$$ y’=5\sin x\cos x(\sin^3 x+\cos^3 x)=\frac{5}{2}\sin 2x(\sin^3 x+\cos^3 x) $$
Критические точки на отрезке:
$$ \sin 2x=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2},\ 0 $$
$$ \sin^3 x+\cos^3 x=0 $$
Так как $$\cos x\neq 0$$ внутри отрезка, получаем
$$ \tg^3 x+1=0 \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4} $$
Вычислим значения функции:
$$ y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^5-0^5=-1 $$
$$ y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^5-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^5 =-\frac{\sqrt2}{8}-\frac{\sqrt2}{8}=-\frac{\sqrt2}{4} $$
$$ y(0)=0^5-1^5=-1 $$
Следовательно,
$$ y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=-\frac{\sqrt2}{4} $$