Упр.46.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х2 — 5|х| + 6, [0; 4]; б) у = х2 — 5|х| + 6, [-5; 0]; в) у = х2 + 8|х| + 7, [1; 5]; г) у = х2 + 8|х| + 7, [-8; -2].
а) $$y=x^2-4x+5+|1-x|,\quad [0;4].$$
Рассмотрим модуль по частям:
$$|1-x|=\begin{cases} 1-x, & x\le 1,\\ x-1, & x>1. \end{cases}$$
Тогда
$$y=\begin{cases} x^2-5x+6, & 0\le x\le 1,\\ x^2-3x+4, & 1<x\le 4. \end{cases}$$
Найдём значения в критических точках и на концах отрезка:
$$y(0)=6,\quad y(1)=2,\quad y\!\left(\frac32\right)=\frac74,\quad y(4)=8.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=\frac74,\qquad y_{\max}=8.$$
б) $$y=|x^3-1|-3x,\quad [-1;3].$$
Разобьём на случаи:
$$|x^3-1|=\begin{cases} 1-x^3, & x<1,\\ x^3-1, & x\ge 1. \end{cases}$$
Тогда
$$y=\begin{cases} 1-x^3-3x, & -1\le x<1,\\ x^3-1-3x, & 1\le x\le 3. \end{cases}$$
Проверим значения в концах отрезка и в точке излома:
$$y(-1)=5,\quad y(1)=-3,\quad y(3)=17.$$
Значит,
$$y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=17.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=\frac74,\ y_{\max}=8.$$
б) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=17.$$
