Упр.46.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (х — 1)3 + 4, [-2; 1]; б) у = 7 — (2х — 8)4, [-1; 3]; в) у = 5 — (3х + 6), [-2; 0]; г) у = 2(х + 3)6 — 4, [-1; 2].
$$y=(x-1)^3+4,\quad x\in[-2;1]$$
Функция $$y=(x-1)^3+4$$ возрастает, значит на отрезке $$[-2;1]$$ минимум достигается при $$x=-2$$, а максимум — при $$x=1$$.
$$y(-2)=(-2-1)^3+4=-27+4=-23$$
$$y(1)=(1-1)^3+4=4$$
$$y=7-(2x-8)^4,\quad x\in[-1;3]$$
Так как $$ (2x-8)^4\ge 0 $$, то наибольшее значение $$y$$ будет при наименьшем значении $$ (2x-8)^4 $$, а наименьшее — при наибольшем.
Минимум $$ (2x-8)^4 $$ достигается при $$2x-8=0$$, то есть при $$x=4$$, но это значение не принадлежит отрезку $$[-1;3]$$. На отрезке ближайшая точка к $$4$$ — это $$x=3$$, поэтому
$$y(3)=7-(6-8)^4=7-16=-9$$
При $$x=-1$$:
$$y(-1)=7-(-10)^4=7-10000=-9993$$
$$y=5-(3x+6),\quad x\in[-2;0]$$
Упростим:
$$y=5-3x-6=-3x-1$$
Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при $$x$$, значит она убывает на отрезке $$[-2;0]$$.
$$y(-2)=-3\cdot(-2)-1=5$$
$$y(0)=-1$$
$$y=2(x+3)^6-4,\quad x\in[-1;2]$$
Так как $$ (x+3)^6 $$ возрастает при $$x\ge -3$$, то на отрезке $$[-1;2]$$ функция $$y$$ тоже возрастает.
$$y(-1)=2\cdot 2^6-4=2\cdot 64-4=124$$
$$y(2)=2\cdot 5^6-4=2\cdot 15625-4=31246$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-23,\ y_{\max}=4$$;
б) $$y_{\min}=-9993,\ y_{\max}=-9$$;
в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=5$$;
г) $$y_{\min}=124,\ y_{\max}=31246$$.
