Упр.46.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х4 + 8х3 + 24×2 + 32x + 21, [-3; 0]; б) у = х4 — 4х3 + 6х2 -4х-9, [0; 4]; в) у = 4х3 — 21х2 + 36х — 2, [1; 2]; г) у = 0,25×4 — 7/3х3 + 3,5, [-1; 2].

Подробный ответ

а) $$y=x^3-2x|x-2|,\quad x\in[-1;3].$$
Рассмотрим два случая:
$$y= \begin{cases} x^3-2x(x-2), & x\ge 2,\\ x^3+2x(x-2), & x<2. \end{cases}$$
1) При $$x\ge 2$$:
$$y=x^3-2x^2+4x,$$
$$y’=3x^2-4x+4.$$
Уравнение $$3x^2-4x+4=0$$ не имеет действительных корней, так как
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 4=16-48=-32<0.$$
Значит, на этом промежутке функция монотонна, и достаточно проверить концы отрезка.
2) При $$x<2$$:
$$y=x^3+2x^2-4x,$$
$$y’=3x^2+4x-4.$$
$$3x^2+4x-4=0,$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6},\quad x_1=-2,\; x_2=\frac23.$$
В отрезок $$[-1;3]$$ попадает только точка $$x=\frac23$$.
Вычислим значения функции в нужных точках:
$$y(-1)=(-1)^3+2(-1)^2-4(-1)=5,$$
$$y\!\left(\frac23\right)=\frac{8}{27}+\frac{8}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{40}{27},$$
$$y(2)=8-8+8=8,$$
$$y(3)=27-18+12=21.$$
Следовательно, на отрезке $$[-1;3]$$:
$$y_{\min}=-\frac{40}{27},\qquad y_{\max}=21.$$
б) $$y=3x|x+1|-x^3,\quad x\in[-1;2].$$
Так как на отрезке $$[-1;2]$$ имеем $$x+1\ge 0$$, то $$|x+1|=x+1$$. Тогда
$$y=3x(x+1)-x^3=3x^2+3x-x^3.$$
Найдём производную:
$$y’=6x+3-3x^2.$$
$$6x+3-3x^2=0,$$
$$x^2-2x-1=0,$$
$$x=1\pm \sqrt2.$$
В отрезок $$[-1;2]$$ попадает только $$x=1-\sqrt2$$.
Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-1)=1,$$
$$y(2)=3\cdot 2\cdot 3-8=10,$$
$$y(1-\sqrt2)=5-4\sqrt2.$$
Значит,
$$y_{\min}=5-4\sqrt2,\qquad y_{\max}=10.$$