Упр.46.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (2х — 1)2(х — 2), [-1; 2]; б) y = x2/(x2 — 2x — 1), [0; 2] в) у = (x + 4)(3х +1)2, [-2; -1/2]; г) y = 5×3/(x2 — 9), [-1; 1].
а) $$y=x^2-5|x|+6$$ на отрезке $$[0;4]$$.
Так как $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$. Тогда
$$y=x^2-5x+6.$$
Найдём производную:
$$y’=2x-5.$$
Стационарная точка:
$$2x-5=0,\quad x=\frac52.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$y(0)=6,$$
$$y\left(\frac52\right)=\left(\frac52\right)^2-5\cdot\frac52+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac14,$$
$$y(4)=16-20+6=2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-\frac14,$$ $$y_{\max}=6.$$
б) $$y=x^2-5|x|+6$$ на отрезке $$[-5;0]$$.
Так как $$x\le 0$$, то $$|x|=-x$$. Тогда
$$y=x^2+5x+6.$$
Найдём производную:
$$y’=2x+5.$$
Стационарная точка:
$$2x+5=0,\quad x=-\frac52.$$
Вычислим значения функции:
$$y(-5)=25-25+6=6,$$
$$y\left(-\frac52\right)=\left(-\frac52\right)^2+5\cdot\left(-\frac52\right)+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac14,$$
$$y(0)=6.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-\frac14,$$ $$y_{\max}=6.$$
в) $$y=x^2+8|x|+7$$ на отрезке $$[1;5]$$.
Так как $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$. Тогда
$$y=x^2+8x+7.$$
Найдём производную:
$$y’=2x+8.$$
На отрезке $$[1;5]$$ уравнение $$2x+8=0$$ решений не имеет, значит, достаточно проверить концы отрезка:
$$y(1)=1+8+7=16,$$
$$y(5)=25+40+7=72.$$
Следовательно, $$y_{\min}=16,$$ $$y_{\max}=72.$$
г) $$y=x^2+8|x|+7$$ на отрезке $$[-8;-2]$$.
Так как $$x\le 0$$, то $$|x|=-x$$. Тогда
$$y=x^2-8x+7.$$
Найдём производную:
$$y’=2x-8.$$
Уравнение $$2x-8=0$$ даёт $$x=4$$, но эта точка не принадлежит отрезку $$[-8;-2]$$. Значит, проверяем только концы отрезка:
$$y(-8)=64+64+7=135,$$
$$y(-2)=4+16+7=27.$$
Следовательно, $$y_{\min}=27,$$ $$y_{\max}=135.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-\frac14,\ y_{\max}=6$$; б) $$y_{\min}=-\frac14,\ y_{\max}=6$$; в) $$y_{\min}=16,\ y_{\max}=72$$; г) $$y_{\min}=27,\ y_{\max}=135$$.
