Упр.46.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х + 1/x, (-оо; 0); б) У = 3x/(x2 + 3), [0; +оо) в) у = -2х — 1/2x, (0; +оо); г) у = корень(2x + 6) — x, [-3; +оо).
а) $$y=x^4+8x^3+24x^2+32x+21,\quad x\in[-3;0].$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3+24x^2+48x+32=4(x^3+6x^2+12x+8)=4(x+2)^3.$$
Стационарная точка: $$x=-2.$$
Вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке:
$$y(-3)=81-216+216-96+21=6,$$
$$y(-2)=16-64+96-64+21=5,$$
$$y(0)=21.$$
Следовательно, $$y_{\min}=5,\quad y_{\max}=21.$$
б) $$y=x^4-4x^3+6x^2-4x-9,\quad x\in[0;4].$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-12x^2+12x-4=4(x^3-3x^2+3x-1)=4(x-1)^3.$$
Стационарная точка: $$x=1.$$
Вычислим значения функции:
$$y(0)=-9,$$
$$y(1)=1-4+6-4-9=-10,$$
$$y(4)=256-256+96-16-9=71.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-10,\quad y_{\max}=71.$$
в) $$y=4x^3-21x^2+36x-2,\quad x\in[1;2].$$
Найдём производную:
$$y’=12x^2-42x+36=6(2x^2-7x+6)=6(2x-3)(x-2).$$
Стационарные точки: $$x=\frac32,\; x=2.$$
Вычислим значения функции:
$$y(1)=4-21+36-2=17,$$
$$y\!\left(\frac32\right)=4\cdot\frac{27}{8}-21\cdot\frac94+36\cdot\frac32-2=\frac{73}{4},$$
$$y(2)=32-84+72-2=18.$$
Следовательно, $$y_{\min}=17,\quad y_{\max}=\frac{73}{4}=18{,}25.$$
г) $$y=0{,}25x^4-\frac23x^3+3{,}5,\quad x\in[-1;2].$$
Найдём производную:
$$y’=x^3-2x^2=x^2(x-2).$$
Стационарные точки: $$x=0,\; x=2.$$
Вычислим значения функции:
$$y(-1)=0{,}25+\frac23+3{,}5=\frac{73}{12},$$
$$y(0)=3{,}5=\frac72,$$
$$y(2)=0{,}25\cdot16-\frac23\cdot8+3{,}5=\frac{67}{6}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=\frac72,\quad y_{\max}=\frac{67}{6}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=5,\; y_{\max}=21$$; б) $$y_{\min}=-10,\; y_{\max}=71$$; в) $$y_{\min}=17,\; y_{\max}=\frac{73}{4}$$; г) $$y_{\min}=\frac72,\; y_{\max}=\frac{67}{6}$$.
