Упр.46.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: a) у = х3 — 2Х2 + 1, [0,5; +оо); б) у = х — 2корень х, [0; +оо); в) y = 1/5 x5 — x2, (-оо; 1]; г) у = x4/(x4 + 1), (-оо; +оо)
$$y=(2x-1)^2(x-2), \quad x\in[-1;2]$$
Найдём производную:
$$ y’ = 2(2x-1)\cdot 2(x-2) + (2x-1)^2 $$
$$ y’=(2x-1)\bigl(4(x-2)+(2x-1)\bigr)=(2x-1)(6x-9) $$
Критические точки:
$$ (2x-1)(6x-9)=0 $$
$$ x=\frac12,\quad x=\frac32 $$
Сравним значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$ y(-1)=(-3)^2\cdot(-3)=-27 $$
$$ y\!\left(\frac12\right)=0 $$
$$ y\!\left(\frac32\right)=2^2\cdot\left(-\frac12\right)=-2 $$
$$ y(2)=3^2\cdot 0=0 $$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-27$$, наибольшее — $$0$$.
$$y=\frac{x^2}{x^2-2x-1}, \quad x\in[0;2]$$
На отрезке $$[0;2]$$ знаменатель не обращается в нуль, так как уравнение $$x^2-2x-1=0$$ имеет корни $$x=1\pm\sqrt2$$, а они не принадлежат отрезку.
Найдём производную:
$$ y’=\frac{2x(x^2-2x-1)-x^2(2x-2)}{(x^2-2x-1)^2} $$
$$ y’=\frac{-2x^2-2x}{(x^2-2x-1)^2} =\frac{-2x(x+1)}{(x^2-2x-1)^2} $$
Критическая точка на отрезке:
$$ -2x(x+1)=0 \Rightarrow x=0 $$
Проверим значения на концах отрезка:
$$ y(0)=0 $$
$$ y(2)=\frac{4}{4-4-1}=-4 $$
Значит, наименьшее значение равно $$-4$$, наибольшее — $$0$$.
$$y=(x+4)(3x+1)^2, \quad x\in\left[-2;-\frac12\right]$$
Найдём производную:
$$ y’=(x+4)'(3x+1)^2+(x+4)\bigl((3x+1)^2\bigr)’ $$
$$ y’=(3x+1)^2+6(x+4)(3x+1) $$
$$ y’=(3x+1)(9x+25) $$
Критические точки:
$$ (3x+1)(9x+25)=0 $$
$$ x=-\frac13,\quad x=-\frac{25}{9} $$
На отрезке $$\left[-2;-\frac12\right]$$ лежит только $$x=-\frac13$$? Нет, эта точка не принадлежит отрезку, поэтому достаточно проверить концы отрезка:
$$ y(-2)=2\cdot(-5)^2=50 $$
$$ y\!\left(-\frac12\right)=\frac72\cdot\left(-\frac12\right)^2=\frac78 $$
Следовательно, наименьшее значение равно $$\frac78$$, наибольшее — $$50$$.
$$y=\frac{5x^3}{x^2-9}, \quad x\in[-1;1]$$
На отрезке $$[-1;1]$$ знаменатель не обращается в нуль, так как $$x=\pm 3$$ вне этого промежутка.
Найдём производную:
$$ y’=\frac{15x^2(x^2-9)-5x^3\cdot 2x}{(x^2-9)^2} $$
$$ y’=\frac{5x^4-135x^2}{(x^2-9)^2} =\frac{5x^2(x^2-27)}{(x^2-9)^2} $$
Критическая точка на отрезке:
$$ 5x^2(x^2-27)=0 \Rightarrow x=0 $$
Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$ y(-1)=\frac{5\cdot(-1)^3}{1-9}=\frac58 $$
$$ y(0)=0 $$
$$ y(1)=\frac{5}{1-9}=-\frac58 $$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-\frac58$$, наибольшее — $$\frac58$$.
Ответ
а) $$y_{\min}=-27,\; y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=0$$; в) $$y_{\min}=\frac78,\; y_{\max}=50$$; г) $$y_{\min}=-\frac58,\; y_{\max}=\frac58$$.
