Упр.46.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке: a) у = ctg x + х,[пи/4; 3пи/4] б) у = 2 sin х — х, [0; пи]; в) у = 2 cos х + х, [-пи/2; пи/2] г) у = tg х — x, [0; пи/3]
а) $$y=\ctg x+x,\quad \left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{\sin^2 x}+1.$$
Стационарные точки:
$$-\frac{1}{\sin^2 x}+1=0$$
$$\sin^2 x=1,\quad \sin x=\pm 1.$$
На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ подходит только $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=1+\frac{\pi}{4},$$
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2},$$
$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\ctg\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=-1+\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-1.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=\frac{3\pi}{4}-1,\qquad y_{\max}=1+\frac{\pi}{4}.$$
б) $$y=2\sin x-x,\quad [0;\pi]$$
Найдём производную:
$$y’=2\cos x-1.$$
Стационарные точки:
$$2\cos x-1=0$$
$$\cos x=\frac12,\quad x=\frac{\pi}{3}.$$
Вычислим значения функции:
$$y(0)=2\sin 0-0=0,$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{3}=\sqrt3-\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3},$$
$$y(\pi)=2\sin\pi-\pi=0-\pi=-\pi.$$
Значит,
$$y_{\min}=-\pi,\qquad y_{\max}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}.$$
в) $$y=2\cos x+x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
Найдём производную:
$$y’=-2\sin x+1.$$
Стационарные точки:
$$-2\sin x+1=0$$
$$\sin x=\frac12,\quad x=\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции:
$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2},$$
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{6}=\sqrt3+\frac{\pi}{6},$$
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac{\pi}{2},\qquad y_{\max}=\sqrt3+\frac{\pi}{6}.$$
г) $$y=\tg x-x,\quad \left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\cos^2 x}-1.$$
Стационарные точки:
$$\frac{1}{\cos^2 x}-1=0$$
$$\cos^2 x=1,\quad \cos x=\pm 1.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$ подходит только $$x=0.$$
Вычислим значения функции:
$$y(0)=\tg 0-0=0,$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt3-\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}.$$
Значит,
$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=\frac{3\pi}{4}-1,\ y_{\max}=1+\frac{\pi}{4}$$; б) $$y_{\min}=-\pi,\ y_{\max}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}$$; в) $$y_{\min}=-\frac{\pi}{2},\ y_{\max}=\sqrt3+\frac{\pi}{6}$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}$$.
