Упр.46.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х4 — 8х3 + 10х2 + 1 на отрезке: a) [-1; 2]; б) [1; 6]; в) [-2; 3]; г) [1; 7].

Найдём производную функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1.$$

$$ y’ = 4x^3-24x^2+20x = 4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5). $$

Стационарные точки: $$x=0,\; x=1,\; x=5.$$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке, вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках, которые лежат внутри отрезка.

1. На отрезке $$[-1;2]$$:

   $$ y(-1)=(-1)^4-8(-1)^3+10(-1)^2+1=20, $$
   $$ y(0)=1, $$
   $$ y(1)=1-8+10+1=4, $$
   $$ y(2)=16-64+40+1=-7. $$

   $$y_{\min}=-7,\quad y_{\max}=20.$$

2. На отрезке $$[1;6]$$:

   $$ y(1)=4, $$
   $$ y(5)=5^4-8\cdot 5^3+10\cdot 5^2+1=625-1000+250+1=-124, $$
   $$ y(6)=6^4-8\cdot 6^3+10\cdot 6^2+1=1296-1728+360+1=-71. $$

   $$y_{\min}=-124,\quad y_{\max}=4.$$

3. На отрезке $$[-2;3]$$:

   $$ y(-2)=(-2)^4-8(-2)^3+10(-2)^2+1=121, $$
   $$ y(0)=1, $$
   $$ y(1)=4, $$
   $$ y(3)=3^4-8\cdot 3^3+10\cdot 3^2+1=81-216+90+1=-44. $$

   $$y_{\min}=-44,\quad y_{\max}=121.$$

4. На отрезке $$[1;7]$$:

   $$ y(1)=4, $$
   $$ y(5)=-124, $$
   $$ y(7)=7^4-8\cdot 7^3+10\cdot 7^2+1=2401-2744+490+1=148. $$

   $$y_{\min}=-124,\quad y_{\max}=148.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-7,\; y_{\max}=20$$;
б) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=4$$;
в) $$y_{\min}=-44,\; y_{\max}=121$$;
г) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=148$$.