Упр.46.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 — 9х2 + 16х — 3 на отрезке: a) [0; 2]; б) [3; 6]; в) [-1; 3]; г) [2; 7].

Найдём производную функции:

$$y=x^3-9x^2+15x-3$$

$$y’=3x^2-18x+15$$

Приравняем производную к нулю:

$$3x^2-18x+15=0$$

$$x^2-6x+5=0$$

$$D=36-20=16$$

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5$$

Критические точки: $$x=1$$ и $$x=5$$.

а) На отрезке $$[0;2]$$

Проверим концы отрезка и критическую точку $$x=1$$:

$$y(0)=0-0+0-3=-3$$

$$y(1)=1-9+15-3=4$$

$$y(2)=8-36+30-3=-1$$

Следовательно, $$y_{\min}=-3$$, $$y_{\max}=4$$.

б) На отрезке $$[3;6]$$

Проверим точки $$x=3$$, $$x=5$$, $$x=6$$:

$$y(3)=27-81+45-3=-12$$

$$y(5)=125-225+75-3=-28$$

$$y(6)=216-324+90-3=-21$$

Следовательно, $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=-12$$.

в) На отрезке $$[-1;3]$$

Проверим точки $$x=-1$$, $$x=1$$, $$x=3$$:

$$y(-1)=-1-9-15-3=-28$$

$$y(1)=1-9+15-3=4$$

$$y(3)=27-81+45-3=-12$$

Следовательно, $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=4$$.

г) На отрезке $$[2;7]$$

Проверим точки $$x=2$$, $$x=5$$, $$x=7$$:

$$y(2)=8-36+30-3=-1$$

$$y(5)=125-225+75-3=-28$$

$$y(7)=343-441+105-3=4$$

Следовательно, $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=4$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=4$$; б) $$y_{\min}=-28,\ y_{\max}=-12$$; в) $$y_{\min}=-28,\ y_{\max}=4$$; г) $$y_{\min}=-28,\ y_{\max}=4$$.