Упр.46.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 + 3х2 — 45x — 2 на отрезке: a) [-6; 0]; б) [1; 2]; в) [-6; -1]; г) [0; 2].

Найдём производную функции:

$$y=x^3+3x^2-45x-2$$

$$y’=3x^2+6x-45$$

Приравняем производную к нулю:

$$3x^2+6x-45=0$$

$$x^2+2x-15=0$$

$$D=2^2+4\cdot 15=64$$

$$x_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-2+8}{2}=3$$

Стационарные точки: $$x=-5$$ и $$x=3$$.

Далее на каждом отрезке сравним значения функции в концах отрезка и в тех стационарных точках, которые принадлежат этому отрезку.

а) На отрезке $$[-6;0]$$:

$$y(-6)=(-6)^3+3\cdot(-6)^2-45\cdot(-6)-2=-216+108+270-2=160$$

$$y(-5)=(-5)^3+3\cdot(-5)^2-45\cdot(-5)-2=-125+75+225-2=173$$

$$y(0)=0^3+3\cdot 0^2-45\cdot 0-2=-2$$

Значит, $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}=173$$.

б) На отрезке $$[1;2]$$:

$$y(1)=1^3+3\cdot 1^2-45\cdot 1-2=1+3-45-2=-43$$

$$y(2)=2^3+3\cdot 2^2-45\cdot 2-2=8+12-90-2=-72$$

Значит, $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-43$$.

в) На отрезке $$[-6;-1]$$:

$$y(-6)=160$$

$$y(-5)=173$$

$$y(-1)=(-1)^3+3\cdot(-1)^2-45\cdot(-1)-2=-1+3+45-2=45$$

Значит, $$y_{\min}=45$$, $$y_{\max}=173$$.

г) На отрезке $$[0;2]$$:

$$y(0)=-2$$

$$y(2)=-72$$

Значит, $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-2$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}=173$$; б) $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-43$$; в) $$y_{\min}=45$$, $$y_{\max}=173$$; г) $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-2$$.