Упр.46.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 — 9х2 + 24х — 1 на отрезке: a) [-1; 3]; б) [3; 6]; в) [-2; 3]; г) [3; 5].

Найдём производную функции:

$$y=x^3-9x^2+24x-1$$

$$y’=3x^2-18x+24=3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4)$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=4$$.

На каждом отрезке сравним значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они принадлежат отрезку.

1. На отрезке $$[-1;3]$$:

   $$y(-1)=(-1)^3-9(-1)^2+24(-1)-1=-35$$

   $$y(2)=2^3-9\cdot 2^2+24\cdot 2-1=19$$

   $$y(3)=3^3-9\cdot 3^2+24\cdot 3-1=17$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-35$$, $$y_{\max}=19$$.

2. На отрезке $$[3;6]$$:

   $$y(3)=17$$

   $$y(4)=4^3-9\cdot 4^2+24\cdot 4-1=15$$

   $$y(6)=6^3-9\cdot 6^2+24\cdot 6-1=35$$

   Следовательно, $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=35$$.

3. На отрезке $$[-2;3]$$:

   $$y(-2)=(-2)^3-9(-2)^2+24(-2)-1=-93$$

   $$y(2)=19$$

   $$y(3)=17$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-93$$, $$y_{\max}=19$$.

4. На отрезке $$[3;5]$$:

   $$y(3)=17$$

   $$y(4)=15$$

   $$y(5)=5^3-9\cdot 5^2+24\cdot 5-1=19$$

   Следовательно, $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=19$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=-35$$, $$y_{\max}=19$$; б) $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=35$$; в) $$y_{\min}=-93$$, $$y_{\max}=19$$; г) $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=19$$.