Упр.46.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: a) у = х8 — 1, [-1; 2]; б) у = -х5 + 2, [-2; 1]; в) у = х3 — 4, [0; 3]; г) у = -2х4 + 8, [0; 3].

Для многочленов на отрезке достаточно сравнить значения функции в концах отрезка и в тех точках, где функция может менять возрастание на убывание.

1. $$y=x^8-1,\quad [-1;2]$$

   На отрезке $$-1\le x\le 2$$ имеем $$0\le x^8\le 256$$, значит

   $$-1\le x^8-1\le 255.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=255.$$

2. $$y=-x^5+2,\quad [-2;1]$$

   На отрезке $$-2\le x\le 1$$ получаем

   $$-32\le x^5\le 1,$$

   тогда

   $$-1\le -x^5\le 32,$$

   и, прибавляя 2, имеем

   $$1\le -x^5+2\le 34.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=34.$$

3. $$y=x^3-4,\quad [0;3]$$

   На отрезке $$0\le x\le 3$$ имеем

   $$0\le x^3\le 27,$$

   значит

   $$-4\le x^3-4\le 23.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=23.$$

4. $$y=-2x^4+8,\quad [0;3]$$

   На отрезке $$0\le x\le 3$$ имеем

   $$0\le x^4\le 81,$$

   тогда

   $$-162\le -2x^4\le 0,$$

   и после прибавления 8 получаем

   $$-154\le -2x^4+8\le 8.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-154,\quad y_{\max}=8.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=255$$; б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}=34$$; в) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=23$$; г) $$y_{\min}=-154,\ y_{\max}=8$$.