Упр.45.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = корень((х — 1)/х) б) у = (х — 3) корень х.
а) $$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x}}$$
Найдём область определения:
$$x\ne 0,$$
$$\frac{x-1}{x}\ge 0.$$
Отсюда
$$D(f)=(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$Функция обращается в нуль при $$x=1$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{\frac{x-1}{x}}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x}}}\cdot\left(\frac{x-1}{x}\right)’$$
$$\left(\frac{x-1}{x}\right)’=\left(1-\frac{1}{x}\right)’=\frac{1}{x^2}.$$
Тогда
$$f'(x)=\frac{1}{2x^2\sqrt{\frac{x-1}{x}}}.$$На области определения $$f'(x)>0$$, значит функция возрастает на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty).$$
Вертикальная асимптота: $$x=0.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{x-1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\sqrt{1-\frac{1}{x}}=1,$$
значит $$y=1.$$Для построения можно взять точки:
$$(-2;\sqrt{\tfrac{3}{2}}),\;(-1;\sqrt{2}),\;(-0{,}5;\sqrt{3}),\;(1;0),\;(2;\tfrac{1}{\sqrt{2}}),\;(4;\tfrac{\sqrt{3}}{2}).$$
б) $$f(x)=(x-3)\sqrt{x}$$
Область определения:
$$x\ge 0,$$
значит
$$D(f)=[0;+\infty).$$Найдём производную:
$$f'(x)=(x-3)’\sqrt{x}+(x-3)(\sqrt{x})’$$
$$f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-3}{2\sqrt{x}}.$$При $$x>0$$ знак производной определяется числителем:
$$3x-3=3(x-1).$$
Поэтому функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$Стационарная точка:
$$x=1,\qquad f(1)=(1-3)\sqrt{1}=-2.$$
Значит, минимум функции равен $$-2$$.Для построения можно взять точки:
$$ (0;0),\; (0{,}25;-1{,}375),\; (1;-2),\; (3;0),\; (4;2),\; (5;4{,}472\ldots). $$
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;0)\cup[1;+\infty),$$ функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty),$$ асимптоты: $$x=0,$$ $$y=1.$$
б) $$D(f)=[0;+\infty),$$ функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty),$$ минимум: $$f_{\min}=-2$$ при $$x=1.$$
