Упр.45.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = 2корень х — х; б) у = корень(х + 4) + 2/3 корень(9 — 3х)
$$y=2\sqrt{x}-x$$
Найдём область определения:
$$x\ge 0,\qquad D(f)=[0;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1.$$
Найдём стационарную точку:
$$f'(x)=0 \iff \frac{1}{\sqrt{x}}-1=0 \iff \sqrt{x}=1 \iff x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$
Значит, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
Максимум функции:
$$f(1)=2\sqrt{1}-1=1.$$
Для построения графика возьмём несколько точек:
$$f(0)=0,\quad f(0{,}25)=2\cdot 0{,}5-0{,}25=0{,}75,\quad f(4)=4-4=0,\quad f(9)=6-9=-3.$$
$$y=\sqrt{x+4}+\frac{2}{3}\sqrt{9-3x}$$
Найдём область определения:
$$x+4\ge 0,\qquad 9-3x\ge 0.$$
Отсюда
$$x\ge -4,\qquad x\le 3,$$
значит,
$$D(f)=[-4;3].$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}-\frac{1}{\sqrt{9-3x}}.$$
Найдём стационарную точку:
$$f'(x)=0 \iff \frac{1}{2\sqrt{x+4}}=\frac{1}{\sqrt{9-3x}}.$$
Возведём в квадрат и решим уравнение:
$$9-3x=4(x+4)$$
$$9-3x=4x+16$$
$$-7=7x$$
$$x=-1.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } -4<x<-1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-4;-1]$$ и убывает на $$[-1;3].$$
Максимум функции:
$$f(-1)=\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{12}=\sqrt{3}+\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}.$$
Для построения графика возьмём точки:
$$f(-4)=\frac{2}{3}\sqrt{21},\quad f(-2)=4,\quad f(0)=4,\quad f(2)=\sqrt{6},\quad f(3)=\sqrt{7}.$$
Ответ
а) $$D(f)=[0;+\infty),$$ функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty),$$ максимум $$f_{\max}=1$$ при $$x=1.$$
б) $$D(f)=[-4;3],$$ функция возрастает на $$[-4;-1]$$ и убывает на $$[-1;3),$$ максимум $$f_{\max}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$ при $$x=-1.$$
