Упр.45.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (x2 + 4)/(x2 — 4) б) у= (x2 + 1)/(x2 — 1)

а) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$

Найдём производную по правилу производной частного:

$$ f'(x)=\frac{(x^2+4)'(x^2-4)-(x^2+4)(x^2-4)’}{(x^2-4)^2} $$

$$ f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2} =\frac{2x(x^2-4-x^2-4)}{(x^2-4)^2} =\frac{-16x}{(x^2-4)^2} $$

1) Область определения:

$$x^2-4\ne 0,\quad x\ne \pm 2$$

$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$

2) Чётность функции:

$$ f(-x)=\frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4}=\frac{x^2+4}{x^2-4}=f(x) $$

Функция чётная.

3) Асимптоты:

$$x=\pm 2$$

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-4} =\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}=1 $$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.

4) Промежутки монотонности:

Так как $$\left(x^2-4\right)^2>0$$ при $$x\ne \pm 2$$, знак производной определяется числителем $$-16x$$.

$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>0$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$ и убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty)$$.

5) Стационарная точка:

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0$$

$$f(0)=\frac{0^2+4}{0^2-4}=-1$$

Точка максимума: $$\left(0;-1\right)$$.

б) $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} $$

$$ f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1-x^2-1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2} $$

1) Область определения:

$$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1$$

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$

2) Чётность функции:

$$ f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}=f(x) $$

Функция чётная.

3) Асимптоты:

$$x=\pm 1$$

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1 $$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.

4) Промежутки монотонности:

Так как $$\left(x^2-1\right)^2>0$$ при $$x\ne \pm 1$$, знак производной определяется числителем $$-4x$$.

$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>0$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$ и убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$.

5) Стационарная точка:

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0$$

$$f(0)=\frac{0^2+1}{0^2-1}=-1$$

Точка максимума: $$\left(0;-1\right)$$.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$, функция чётная, асимптоты $$x=\pm 2$$ и $$y=1$$, возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$, убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty)$$, максимум в точке $$\left(0;-1\right)$$.

б) $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$, функция чётная, асимптоты $$x=\pm 1$$ и $$y=1$$, возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$, убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$, максимум в точке $$\left(0;-1\right)$$.