Упр.45.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (x2 — 1)/(x2 + 1) б) у =(x2 — 4)/(x2 + 4)
а) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$
Область определения:
$$x^2+1\neq 0$$
Это верно при всех $$x$$, значит
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f(x).$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x^2+1)-(x^2-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} =\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} =\frac{4x}{(x^2+1)^2}. $$
Так как $$ (x^2+1)^2>0 $$ при всех $$x$$, знак производной определяется знаком $$x$$:
при $$x<0$$ имеем $$f'(x)<0$$, при $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=0$$:
$$f(0)=\frac{0^2-1}{0^2+1}=-1.$$
Горизонтальная асимптота:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x^2+1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=1. $$
Значит, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.
б) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$$
Область определения:
$$x^2+4\neq 0$$
Это верно при всех $$x$$, значит
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{(-x)^2-4}{(-x)^2+4}=\frac{x^2-4}{x^2+4}=f(x).$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{(x^2-4)'(x^2+4)-(x^2-4)(x^2+4)’}{(x^2+4)^2} =\frac{2x(x^2+4)-2x(x^2-4)}{(x^2+4)^2} =\frac{16x}{(x^2+4)^2}. $$
Так как $$ (x^2+4)^2>0 $$ при всех $$x$$, знак производной определяется знаком $$x$$:
при $$x<0$$ имеем $$f'(x)<0$$, при $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=0$$:
$$f(0)=\frac{0^2-4}{0^2+4}=-1.$$
Горизонтальная асимптота:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4}{x^2+4} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}=1. $$
Значит, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty),$$
$$f_{\min}=-1$$ при $$x=0,$$ асимптота $$y=1.$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty),$$
$$f_{\min}=-1$$ при $$x=0,$$ асимптота $$y=1.$$
